Subgrup Normal dan Grup Faktor

                Himpunan faktor merupakan suatu Grup dengan perkalian yang didefinisikan dalam G. Misalkan G adalah merupakan suatu Grup dengan H adalah Subgrup dari G dan Relasi a ≡ b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Akan kita tunjukkan himpunan faktor yang merupakan suatu Grup dengan perkalian yang didefinisikan dalam G berlaku bila dan hanya bila koset kiri dari H dalam G aH = {ah, h ∈ H} sama dengan koset kanan Ha = {ha, h ∈ H}.

Definisi:

Misalkan H adalah suatu Subgrup dari Grup G, Subgrup H dikatakan Subgrup Normal dari G bila g-1hg ∈ H untuk setiap g ∈G dan h ∈H.

Definisi:

Misalkan H adalah suatu Subgrup Normal dari Grup G, maka setiap koset kiri dari H dalam G juga merupakan koset kanannya (aH = Ha).

Dari definisi tersebut dapat dikatakan untuk menentukan bahwa suatu Subgrup H adalah Subgrup Normal dari Grup G, maka harus dibuktikan bahwa koset-koset kiri dari H dalam G sama dengan koset-koset kanan dari H dalam G (aH = Ha).

Jika H adalah merupakan Subgrup Normal dari Grup (G,*) dan G/N adalah himpunan semua koset-koset kiri atau koset-koset kanan dari N dalam G, yang didefinisikan :

(gH)*(nH) = (g*n)H

Definisi:

Bila H adalah Subgrup Normal dari Grup (G,*), himpunan dari koset-koset G/H = {H*g | g ∈ G} membentuk Grup (H/G,*) yang didefinisikan oleh H(g1*H(g2) = H(g1 * g2), disebut Grup Faktor G oleh H.

Orde dari Grup Faktor (G/H,*) adalah banyaknya koset-koset dari H dalam G, sehingga :

Ind|G/H| = Ind|G : H|

Contoh:

Misalkan (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup dan H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup dari G. Tentukan Grup Faktor dari G oleh H, yaitu (G/H).

Penyelesaian :

Telebih dahulu akan ditunjukkan bahwa Grup tersebut merupakan Subgrup Normal, dimana koset kiri sama dengan koset kanan. (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, generatornya 0, 1, 2, 3, 4 dan 5

Koset kiri :

0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4}

1 + H = 1 + {0, 2, 4}= {1, 3, 5}

2 + H = 2 + {0, 2, 4}= {2, 4, 0}

3 + H = 3 + {0, 2, 4}= {3, 5, 1}

4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2}

5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3}

Koset kanan:

H + 0 = {0, 2, 4}+ 0 = {0, 2, 4}

H + 1 = {0, 2, 4}+ 1 = {1, 3, 5}

H + 2 = {0, 2, 4}+ 2 = {2, 4, 0}

H + 3 = {0, 2, 4}+ 3 = {3, 5, 1}

H + 4 = {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2}

H + 5 = {0, 2, 4} + 5 = {5, 1, 3}

Sehingga :

0 + H = H + 0= {0, 2, 4}

1 + H = H + 1= {1, 3, 5}

2 + H = H + 2 = {2, 4, 0}

3 + H = H + 3 = {3, 5, 1}

H + 4 = H + 4 = {4, 0, 2}

H + 5 = H + 5 = {5, 1, 3}

Maka : koset kiri = koset kanan

Sehingga : Subgrup dari H = {0,2} merupakan Subgrup Normal Sekarang kita akan menentukan Grup Faktor G oleh H yang dibentuk dari Subgrup Normal tersebut :

Ind|G/H| = Ind|G : H| = 2

Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2.

Misalkan kita ambil koset kiri :

0 + H = {0, 2, 4}

1 + H = {1, 3, 5}

2 + H = {2, 4, 0}

3 + H = {3, 5, 1}

H + 4 = {4, 0, 2}

H + 5 = {5, 1, 3}

Maka :

0 + H = 2 + H = 4 + H = {0, 2, 4}

1 + H = 3 + H = 5 + H = {1, 3, 5}

Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2 :

0 + H = {0, 2, 4} = H

1 + H = {1, 3, 5}

Adapun daftar Cayley dari Grup Faktor tersebut adalah :

Tabel Cayley

Grup Faktor dari G = Z4 oleh H = {0, 2, 4}

+	H	1 + H
H	H	1 + H
1 + H	1 + H	H